Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 10 класс

Найдите все решения арифметического ребуса $New = (((Y! - E)! + A)! - R)!.$ Здесь $New$ — натуральное число, в десятичной записи которого на конце стоят ровно четыре нуля; $Y,$ $E,$ $A,$ $R$ — различные положительные цифры. (Для любого натурального числа $n$ величина $n!$ (факториал натурального числа $n$) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что $k!$ оканчивается на менее 4 нуля при $k\le 19$, ровно на 4 нуля при $20 \le k \le 24$, и на больше 4 нуля, при $k \ge 25$. Следовательно, $((Y! - E)! + A)! - R$ может принимать значение от 20 до 24. Тогда, учитывая что $R$ ненулевая цифра, получим что факториал $((Y! - E)! + A)!$ принимает значение от 21 до 33. Но числа 1, 2, 6, 24, 120 — последовательные факториалы, следовательно $((Y! - E)! + A)! =24=4!.$ Значит, $(Y! - E)! + A =4.$ Поэтому $(Y! - E)!$ принимает значения от 1 до 3, то есть $Y! - E$ равно 1 или 2. Далее перебор.
   При $Y! -E=1$, $(Y,E)=(2,1),(3,5)$.
   При $Y! -E=2$, $(Y,E)=(3,4)$.
   Дальше исходя из значений $Y$ и $E$ перебираем варианты для $A$ и $R$.