Математикадан аудандық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып

$ New=(((Y!-E)!+A)!-R)!$ арифметикалық ребусының барлық шешімдерін табыңыз. Мұндағы $New$ — ондық жүйеде соңында дәл төрт нөлі бар натурал сан, ал $Y$, $E$, $A$, $R$ — әртүрлі оң цифрлар. (Кез келген $n$ натурал саны үшін $n!$ ($n$ натурал санының факториалы) өрнегінің мәні $1$-ден $n$-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі ретінде анықталады, яғни $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что $k!$ оканчивается на менее 4 нуля при $k\le 19$, ровно на 4 нуля при $20 \le k \le 24$, и на больше 4 нуля, при $k \ge 25$. Следовательно, $((Y! - E)! + A)! - R$ может принимать значение от 20 до 24. Тогда, учитывая что $R$ ненулевая цифра, получим что факториал $((Y! - E)! + A)! $ принимает значение от 21 до 33. Но числа 1, 2, 6, 24, 120 — последовательные факториалы, следовательно $((Y! - E)! + A)! =24=4!.$ Значит, $(Y! - E)! + A =4.$ Поэтому $(Y! - E)!$ принимает значения от 1 до 3, то есть $Y! - E$ равно 1 или 2. Далее перебор.
   При $Y! -E=1$, $(Y,E)=(2,1),(3,5)$.
   При $Y! -E=2$, $(Y,E)=(3,4)$.
   Дальше исходя из значений $Y$ и $E$ перебираем варианты для $A$ и $R$.