17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год
Тұрақты емес P(x) көпмүшесінің дәрежесі n-ге тең, ал коэффициенттері рационал сандар. Сонымен қатар P(x) көпмүшесін коэффициенттері рационал болатын екі (тұрақты емес) көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтіруге болмайды. P(Q(x)) көпмүшесі P(x) көпмүшесіне бөлінетіндей, коэффициенттері рационал сандар болатын ал дәрежесі n-нен кіші Q(x) көпмүшелерінің саны
а) шекті екенін;
б) n-нен аспайтынын
дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде
а) шекті екенін;
б) n-нен аспайтынын
дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
Комментарий/решение:
Решение: Пусть x1,…,xn − все корни P. Из условия следует, что P(Q(x1))=0, поэтому Q(x1)∈{x1,…,xn}. Достаточно доказать, что для любого i=1,…,n существует не более одного такого многочлена Q, что Q(x1)=xi.
От обратного, допустим, что Q1(x1)=Q2(x1)=xi⟹R=Q1−Q2∈Q[x] имеет корень x1, а так же 0<degR<n.
Тогда многочлен G=gcd(P,R)∈Q[x] делит P, тогда P=G⋅S, при этом 0<degG<n (поскольку это НОД двух многочленов, которые имеют общий корень), но это противоречит условию, ч.т.д. ◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.