Processing math: 79%

17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год


Тұрақты емес P(x) көпмүшесінің дәрежесі n-ге тең, ал коэффициенттері рационал сандар. Сонымен қатар P(x) көпмүшесін коэффициенттері рационал болатын екі (тұрақты емес) көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтіруге болмайды. P(Q(x)) көпмүшесі P(x) көпмүшесіне бөлінетіндей, коэффициенттері рационал сандар болатын ал дәрежесі n-нен кіші Q(x) көпмүшелерінің саны
    а) шекті екенін;
    б) n-нен аспайтынын
    дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 10 месяца назад #

Решение: Пусть x1,,xn все корни P. Из условия следует, что P(Q(x1))=0, поэтому Q(x1){x1,,xn}. Достаточно доказать, что для любого i=1,,n существует не более одного такого многочлена Q, что Q(x1)=xi.

От обратного, допустим, что Q1(x1)=Q2(x1)=xiR=Q1Q2Q[x] имеет корень x1, а так же 0<degR<n.

Тогда многочлен G=gcd делит P, тогда P=G\cdot S, при этом 0<\deg G<n (поскольку это НОД двух многочленов, которые имеют общий корень), но это противоречит условию, ч.т.д. \blacksquare