17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год
Тұрақты емес P(x) көпмүшесінің дәрежесі n-ге тең, ал коэффициенттері рационал сандар. Сонымен қатар P(x) көпмүшесін коэффициенттері рационал болатын екі (тұрақты емес) көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтіруге болмайды. P(Q(x)) көпмүшесі P(x) көпмүшесіне бөлінетіндей, коэффициенттері рационал сандар болатын ал дәрежесі n-нен кіші Q(x) көпмүшелерінің саны
а) шекті екенін;
б) n-нен аспайтынын
дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде
а) шекті екенін;
б) n-нен аспайтынын
дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
Комментарий/решение:
Решение: Пусть x1,…,xn − все корни P. Из условия следует, что P(Q(x1))=0, поэтому Q(x1)∈{x1,…,xn}. Достаточно доказать, что для любого i=1,…,n существует не более одного такого многочлена Q, что Q(x1)=xi.
От обратного, допустим, что Q1(x1)=Q2(x1)=xi⟹R=Q1−Q2∈Q[x] имеет корень x1, а так же 0<degR<n.
Тогда многочлен G=gcd делит P, тогда P=G\cdot S, при этом 0<\deg G<n (поскольку это НОД двух многочленов, которые имеют общий корень), но это противоречит условию, ч.т.д. \blacksquare
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.