Processing math: 56%

XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год


Шексіз және қатаң өспелі a1, a2, a3, натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал n саны үшін ann+2020 екені және n3an1 саны an+1 санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал n үшін an=n екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть bn=ann для всех n. Индукцией по n легко показать, что bn0 для любого n. Если bk>bk+1 для какого-то k, то akk>ak+1k1ak+1>ak+1akak+1 --- противоречие. Следовательно, последовательность {bn} неубывает. С другой стороны, она ограничена сверху: bn=ann2020. Следовательно, существует такое неотрицательное целое k и натуральное t, что bn=k для всех nt. Значит, для всех nt an+1 | n3an1n+k+1 | n3(n+k)1 n+k+1 | n3(n+k)1(n+k+1)(n3n2+n(k+1)(k+1)2)=(k+1)31 n+k+1 | (k+1)31. Но это возможно только если k=0. Следовательно, bn=0 для всех достаточно больших n, а значит и для всех n, т. е. an=n для всех n.

  9
2 года 8 месяца назад #

Заметим, что an+1an+1ann,n. Допустим ai>i для некоторого ian>n,ni.

Из условия следует, что gcd Выберем n>i, что 2021!\mid n, тогда

1=\gcd (a_{n+1},n)=\gcd (a_{n+1}-n,n)=a_{n+1}-n>1,

противоречие. Последнее равенство следует из неравенства 1<a_{n+1}-n\le 2021.

  0
2 года 3 месяца назад #

\mathbf{Statement:}

Если существует какой-то a_i для которого a_i \geq i+j то и существует какой-то a_s что a_s \geq s+j+1.

\mathbf{Proof:}

Давайте рассмотрим любой w\geq i, то для него будет что a_w \geq w+j, теперь подберем w такой что бы (j+1)|w и рассмотрим тот факт что a_{w+1}|w^3a_w-1, а еще мы знаем что a_{w+1}\geq w+j+1, рассмотрим два случая...

Первый, a_{w+1}=w+j+1, а он делится на j+1, значит и w^3a_w-1 делится на j+1, что невозможно ибо w делится на j+1, соответственно этот случай невозможен.

Второй, a_{w+1}\geq w+j+2, значит мы доказали наше утверждение.

\mathbf{Conclusion:}

Получается, каждый раз мы будем находить какое-то a_n \geq n+s где каждый раз s будет увеличиваться при каких-то больших n, что даст противоречие по пункту того что a_n\leq n+2020.