XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2020 год
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть bn=an−n для всех n. Индукцией по n легко показать, что bn≥0 для любого n. Если bk>bk+1 для какого-то k, то ak−k>ak+1−k−1⟹ak+1>ak+1⟹ak≥ak+1 --- противоречие. Следовательно, последовательность {bn} неубывает. С другой стороны, она ограничена сверху: bn=an−n≤2020. Следовательно, существует такое неотрицательное целое k и натуральное t, что bn=k для всех n≥t. Значит, для всех n≥t an+1 | n3an−1⟹n+k+1 | n3(n+k)−1⟹ ⟹n+k+1 | n3(n+k)−1−(n+k+1)(n3−n2+n(k+1)−(k+1)2)=(k+1)3−1⟹ ⟹n+k+1 | (k+1)3−1. Но это возможно только если k=0. Следовательно, bn=0 для всех достаточно больших n, а значит и для всех n, т. е. an=n для всех n.
\mathbf{Statement:}
Если существует какой-то a_i для которого a_i \geq i+j то и существует какой-то a_s что a_s \geq s+j+1.
\mathbf{Proof:}
Давайте рассмотрим любой w\geq i, то для него будет что a_w \geq w+j, теперь подберем w такой что бы (j+1)|w и рассмотрим тот факт что a_{w+1}|w^3a_w-1, а еще мы знаем что a_{w+1}\geq w+j+1, рассмотрим два случая...
Первый, a_{w+1}=w+j+1, а он делится на j+1, значит и w^3a_w-1 делится на j+1, что невозможно ибо w делится на j+1, соответственно этот случай невозможен.
Второй, a_{w+1}\geq w+j+2, значит мы доказали наше утверждение.
\mathbf{Conclusion:}
Получается, каждый раз мы будем находить какое-то a_n \geq n+s где каждый раз s будет увеличиваться при каких-то больших n, что даст противоречие по пункту того что a_n\leq n+2020.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.