Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур регионального этапа

На полуокружности расположено 50 точек. Любые две точки, между которыми не более 9 других точек, соединены отрезком. Степенью точки назовём количество отрезков, выходящих из неё. Панда и Вомбат играют в игру. Ходят по очереди, начинает Панда. Панда своим ходом может стереть один отрезок, соединяющий точки, сумма степеней которых чётна. Вомбат может своим ходом стереть один отрезок, соединяющий точки, сумма степеней которых нечётна. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из зверей выиграет при правильной игре? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Панда.
Решение. Если Панда не может сделать ход, то любой отрезок соединяет вершину четной и нечетной степени. В этом случае количество отрезков равняется сумме степеней точек с четной степенью, следовательно, обязательно делится на два. Посчитаем (последовательно, начиная с крайней точки) сколько отрезков было изначально: $(10+11+ \ldots +18+19+30\cdot 20+19+18+ \ldots +11+10)/2 = 10\cdot 29/2+30\cdot 10,$ что не делится на 2. Так как за один ход количество отрезков уменьшается ровно на 1, перед ходом Панды всегда будет нечетное число отрезков. Следовательно, Панда всегда может сделать ход. Очевидно, игра закончится, поэтому Панда победит.