Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Жартышеңберде 50 нүкте орналасқан. Кез келген екі нүкте, егер олардың арасында орналасқан басқа нүктелер саны 9-дан аспаса, кесіндімен қосылған. Нүктенің дәрежесі деп сол нүктеден шыққан кесінділер санын айтамыз. Егер кесіндінің екі ұшындағы нүктелердің дәрежелерінің қосындысы тақ болса, сол кесіндіні тақ-кесінді деп атаймыз, ал кері жағдайда оны жұп-кесінді дейміз. Панда мен Аю ойын ойнайды. Ойынды Панда бастайды, әрі қарай кезекпен жүреді. Панда өз жүрісінде қандай-да бір жұп-кесіндіні өшіре алады. Аю өз жүрісінде қандай-да бір тақ-кесіндіні өшіре алады. Келесі жүрісті жасай алмаған аң ұтылады. Дұрыс ойында қай аң ұтады? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Панда.
Решение. Если Панда не может сделать ход, то любой отрезок соединяет вершину четной и нечетной степени. В этом случае количество отрезков равняется сумме степеней точек с четной степенью, следовательно, обязательно делится на два. Посчитаем (последовательно, начиная с крайней точки) сколько отрезков было изначально: $(10+11+ \ldots +18+19+30\cdot 20+19+18+ \ldots +11+10)/2 = 10\cdot 29/2+30\cdot 10,$ что не делится на 2. Так как за один ход количество отрезков уменьшается ровно на 1, перед ходом Панды всегда будет нечетное число отрезков. Следовательно, Панда всегда может сделать ход. Очевидно, игра закончится, поэтому Панда победит.