16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год

Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых $x$ и $y$. ( И. Воронович )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $f(x)={ax\over 5}$ при $x$, кратном 5, и $f(x)=bx$ при $x$, не кратном 5, где $a$ и $b$ -- произвольные целые числа.
Решение. Подставляя $x=0$ в исходное уравнение $$f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)\eqno(1),$$ получаем $$f(3y)=f(y)+f(2y).\eqno(2)$$ Далее, при $y=-2x$ (1) принимает вид $f(-2x)=f(x)+f(-3x)=f(x)+f(-x)+f(-2x)$ (в силу (2)). Таким образом, $$f(-x)=-f(x).\eqno(3)$$ Теперь положим $x=2z-v$, $y=3v-z$ в (1). Получим $$f(5z+5v)=f(5z)+f(5v)\eqno(4)$$ при всех $z, v\in\Z$. Отсюда сразу следует, что $f(5t)=tf(5)$ при $t\in\Z$, или $f(x)={ax\over 5}$ при всех $x$, кратных 5, где $f(5)=a$.
    Докажем, что $$f(x)=bx,\eqno(5)$$ где $b=f(1)$, при всех $x$, не кратных 5. В силу (3) достаточно доказать это для $x>0$. Мы применим индукцию по $k$, где $x=5k+r$, $k\in\Z$, $0    Предположим, что (5) верно при $x<5k$. Имеем $f(5k+1)=f(4(2k-2)+3(3-k))=f(3(2k-2)+(3-k))+f((2k-2)+2(3-k))=f(5k-3)+f(4)= (5k-3)b+4b=(5k+1)b$; $f(5k+2)=f(4(2k-1)+3(2-k))=f(3(2k-1)+(2-k))+f((2k-1)+2(2-k))=f(5k-1)+f(3)= (5k-1)b+3b=(5k+2)b$; $f(5k+3)=f(4\cdot 2k+3(1-k))=f(3\cdot 2k+(1-k))+f(2k+2(1-k))=f(5k+1)+f(2)= (5k+1)b+2b=(5k+3)b$; $f(5k+4)=f(4(2k+1)+3(-k))=f(3(2k+1)+(-k))+f((2k+1)+2(-k))=f(5k+3)+f(1)= (5k+3)b+b=(5k+4)b$. Таким образом, (5) доказано.
    Остаётся проверить, что функция $f(x)={ax\over 5}$ при $x$, кратных 5, $f(x)=bx$ при $x$, не кратных 5, удовлетворяет тождеству (1). Для этого достаточно заметить, что либо все числа $4x+3y$, $3x+y$, $x+2y$ кратны 5, либо ни одно из них не кратно 5 (поскольку $3x+y=5(x+y)-2(x+2y)=2(4x+3y)-5(x+y)$).