Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый – на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?

Комментарий/решение

Пусть $a,b,c$ - остатки от деления количества хамелеонов на 3. Очевидно, что если в какой-то момент все хамелеоны стали одного цвета, то остатки равны нулю. Рассмотрим встречу хамелеонов как отображение $f\colon \{a,b,c\} \to \{a-1 \pmod{3},b-1 \pmod{3},c+2 \pmod{3}\} $, тогда получим:

$\begin{array}{ccc} \{0,1,2\} & \rightarrow & \{2,0,1\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,2,0\}& \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \{0,2,1\} & \rightarrow & \{2,1,0\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,0,2\}& \end{array}$

Заметим, что отображением $f$ невозможно получить нулевые остатки, значит хамелеоны не могут быть одного цвета.