Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 8 сынып

Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл — қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?

Комментарий/решение

Пусть $a,b,c$ - остатки от деления количества хамелеонов на 3. Очевидно, что если в какой-то момент все хамелеоны стали одного цвета, то остатки равны нулю. Рассмотрим встречу хамелеонов как отображение $f\colon \{a,b,c\} \to \{a-1 \pmod{3},b-1 \pmod{3},c+2 \pmod{3}\} $, тогда получим:

$\begin{array}{ccc} \{0,1,2\} & \rightarrow & \{2,0,1\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,2,0\}& \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \{0,2,1\} & \rightarrow & \{2,1,0\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,0,2\}& \end{array}$

Заметим, что отображением $f$ невозможно получить нулевые остатки, значит хамелеоны не могут быть одного цвета.