қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Вещественные числа $a,~b$ удовлетворяют соотношениям
$
a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6.
$
Найдите значение выражения $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый – на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 5 и на 9, имеющие ровно 10 делителей (включая единицу и само число).
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Решите в вещественных числах уравнение
$
\sqrt{{{x}^{2}}-8x+41}+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+25}=9.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Длина высоты $AD$ треугольника $ABC$ в два раза меньше длины стороны $BC$. Может ли угол $A$ быть тупым?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)