6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы

Дана парабола $\Delta$ с фокусом $H$. На параболе $\Delta$ выбираются точки $A$, $B$ и $C$ такие, что ортоцентр треугольника $ABC$ совпадает с точкой $H$. Докажите, что у всех таких треугольников $ABC$ одинаковый радиус вписанной окружности.

Комментарий/решение

standard bash!

Let the parabola be $y^2=4x$ with focus $(1,0)$ and let the points be $(t_1^2,2t_1),(t_2^2,2t_2),(t_3^2,2t_3)$. Obtain the following conditions:

$$t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3 = -5$$$$t_1+t_2+t_3+t_1t_2t_3=0$$Now use the determinant formula to find area of $ \Delta ABC$, use distance formula to find out semiperimeter, and divide the former by the latter to get the inradius as $2$.