Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

Фокусы $H$ болатын $\Delta$ параболасы берілген. $\Delta$ бойынан $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі $H$ нүктесімен беттесетіндей $A$, $B$ және $C$ нүктелері таңдалынады. Осындай $ABC$ үшбұрыштардың барлығында іштей сызылған шеңберлердің радиустары бірдей екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

standard bash!

Let the parabola be $y^2=4x$ with focus $(1,0)$ and let the points be $(t_1^2,2t_1),(t_2^2,2t_2),(t_3^2,2t_3)$. Obtain the following conditions:

$$t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3 = -5$$$$t_1+t_2+t_3+t_1t_2t_3=0$$Now use the determinant formula to find area of $ \Delta ABC$, use distance formula to find out semiperimeter, and divide the former by the latter to get the inradius as $2$.