Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2019 год

Андрей, Боря, Витя и Гена играют на доске $1000\times 1000$. Ходят по очереди — сначала Андрей, потом Боря, затем Витя и наконец Гена, затем снова Андрей и т.д. Каждым ходом игрок должен закрасить еще незакрашенные клетки, образующие прямоугольник $2\times 1$, $1\times 2$, $1\times 3$ или $3\times 1$. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что какие-то трое ребят могут договориться и играть так, чтобы оставшийся заведомо проиграл. ( С. Берлов, Н. Власова )

Комментарий/решение

Мы доказываем, что $A$, $B$ и $D$ могут сотрудничать против $C$. Вначале $A$ и $B$ должны закрасить четыре клетки, содержащие центр доски. После каждого хода $C$ остальные трое могут раскрасить прямоугольники, полученные из прямоугольника, нарисованного $C$, когда он вращается вокруг центра доски на $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270. ^{\circ}$. Легко видеть, что прямоугольник, не содержащий центра доски, не может перекрываться с ее изображениями при таких поворотах. Таким образом, если $C$ может двигаться, то же самое могут делать и $D$, $A$ и $B$.