Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Имеется 185 монет, из них ровно 7 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты также весят одинаково. Фальшивая монета легче настоящей. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь отобрать 23 настоящие монеты?

Комментарий/решение

$185$ тиынның біреуін алып тастаймыз. Сонда $185-1=184$ тиын қалады. Қалған $184$ тиынды екіге бөлеміз: $184:2=92.$

$1)$ Таразы табағына $92$ тиыннан қоямыз. Егер тең болып шықса алынып тасталған тиын жалған тиын және таразының әр табағында $3$ жалған тиын болады. Егер таразының бір табағы ауыр болса, онда сол табақта $3$-тен артық емес жалған тиын болады. Сонымен бірінші өлшеуден кейін $3$-тен артық емес жалған тиын бар $92$ тиынды аламыз.

$2)$ $92$ тиынды екіге бөлсек: $92:2=46$. Таразы табағына $46$ тиыннан қоямыз. Екеуі тең болып қалса, онда әрқайсысында $1$ жалған тиыннан болады. Егер таразының бір табағы ауыр болса, онда сол табақта $1$-тен артық емес жалған тиын болады. Сонымен екінші өлшеуден кейін $1$-ден артық емес жалған тиын бар $46$ тиынды аламыз.

$3)$ $46$ тиынды екіге бөлсек: $46:2=23$. Таразы табағына $23$ тиыннан қоямыз. Егер екеуі тең болса, екеуіндеде жалған тиын болмайды. Егер табақтың біреуі ауыр болса сол табақта $23$ шын тиын болады, ал екінші табақта $1$ жалған тиын болады.

Осылайша $3$ рет өлшегенде $23$ шын тиынды анықтаймыз.