Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Для положительных вещественных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство $$ \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}. $$ ( Аубекеров Д. )

Комментарий/решение

$$ x=\sqrt[105]{\frac{a}{b}},\quad y=\sqrt[105]{\frac{b}{c}},\quad y=\sqrt[105]{\frac{c}{a}}\Rightarrow x^{35}+y^{21} +z^{15}>\frac{5}{2}$$

$$x^{35}+y^{21} + z^{15}=\frac{x^{35}}{3}+\frac{x^{35}}{3}+\frac{x^{35}}{3}+\underbrace{\frac{y^{21}}{5}+...+\frac{y^{21}}{5}}_5+\underbrace{\frac{z^{15}}{7}+...+\frac{z^{15}}{7}}_7\geq 15\sqrt[15]{\frac{x^{105}}{3^3}\cdot \frac{y^{105}}{5^5}\cdot \frac{z^{105}}{7^7}}=$$

$$=15\sqrt[15]{\frac{1}{3^3\cdot 5^5 \cdot 7^7}}=15\sqrt[15]{\frac{1}{3^3\cdot 7^2 \cdot (7\cdot 5)^5}}>15\sqrt[15]{\frac{1}{3^3\cdot 7^2 \cdot (36)^5}}=15\sqrt[15]{\frac{1}{3\cdot (3\cdot7)^2 \cdot 6^{10}}}>15\sqrt[15]{\frac{1}{6^{15}}}=\frac{5}{2}$$

easy

Бұрын осыған ұқсас есеп болған:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1250316p6436153

http://respa.daryn.kz/files/rus/math9-1-sol.pdf

Это баян