Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна $3$. Докажите неравенство $\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1.$ ( Аубекеров Д. )

Комментарий/решение

Коши теңсіздігі бойынша

$\frac{1}{\sqrt[3]{3a^2(8b+1)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{9a\cdot 9a\cdot (8b+1)}}\ge \frac{9}{9a+9a+(8b+1)}=\frac{9}{18a+8b+1}$

Арифметикалық орта гармоникалық ортадан кем емес, сондықтан,

$\frac{1}{18a+8b+1}+\frac{1}{18b+8c+1}+\frac{1}{18c+8a+1}\ge \frac{9}{(18a+8b+1)+(18b+8c+1)+(18c+8a+1)}=\frac{1}{9}$

Пусть $A=\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}}$

По неравенству Гёлдера для 7 скобок:

$$A^3\cdot(a+b+c)^2\cdot\Big( (8b+1)+(8c+1)+(8a+1) \Big)(3+3+3)\ge 3^7$$ $$\iff$$ $$3^7\cdot A^3\ge 3^7$$ $$\iff$$ $$\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1\quad\square$$

По $AM\ge GM$ $$\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} +\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 3 \sqrt[9]{\dfrac{1}{3^3(abc)^2(8a+1)(8b+1)(8c+1)}}$$

Осталось доказать, что $$(abc)^2\cdot (8a+1)(8b+1)(8c+1)\le 3^6$$

По $AM\ge GM$ получаем следующие два неравенства

$$(abc)^2\le \bigg{(}\bigg{(}\dfrac{a+b+c}{3}\bigg{)}^3 \bigg{)}^2=1\quad (\color{red}{1})$$

$$(8a+1)(8b+1)(8c+1)\le \bigg{(}\dfrac{ (8a+1)+(8b+1)+(8c+1) }{3} \bigg{)}^3=3^6\quad (\color{red}{2})$$

Произведение неравенств $(\color{red}{1})$ и $(\color{red}{2})$ дает требуемое.$\quad\square$

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019

$$\sqrt[3]{\frac{1}{3a^2(8b+1)}}+ \sqrt[3]{\frac{1}{3b^2(8c+1)}}+ \sqrt[3]{\frac{1}{3c^2(8a+1)}}=S$$ Б.О.О $\sqrt[3]{3a^2(8b+1)}\ge \sqrt[3]{3b^2(8c+1)}\ge \sqrt[3]{3c^2(8a+1)}$. $$\Longleftrightarrow$$ $$\sqrt[3]{3a^2(8b+1)}+\sqrt[3]{3b^2(8c+1)}+ \sqrt[3]{3c^2(8a+1)}\le 3\sqrt[3]{3a^2(8b+1)}\le \sqrt[3]{3^3\cdot 3\cdot 3^2\cdot 3^3}=\sqrt[3]{3^9}=27$$

По неравенству Гёлдера для 3 скобок: $$({ \color{red} ! }) S^2 \Big(\sqrt[3]{3a^2(8b+1)}+\sqrt[3]{3b^2(8c+1)}+ \sqrt[3]{3c^2(8a+1)} \Big)\ge 27 \ge \sqrt[3]{3a^2(8b+1)}+\sqrt[3]{3b^2(8c+1)}+ \sqrt[3]{3c^2(8a+1)}$$ $$\Longleftrightarrow S^2\ge 1 \Longrightarrow S\ge 1\blacksquare$$