Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Дан вписанный выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Окружность с центром в точке $E$ и радиусом $AE$ пересекает отрезки $AC$ и $AD$ в $X$ и $Y$ соответственно, а окружность с центром в точке $C$ радиусом $BC$ пересекает отрезки $BE$ и $BD$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Прямые $XY$ и $ZT$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $DF$ и $EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019

Пусть $\angle{CBD}=\angle{CAD}=\alpha$, и $\angle{DAE}=\angle{DBE}=\beta$, тогда $\angle{XEA}=180-2\alpha-2\beta$ и $\angle{AYX}=90-\alpha-\beta$.

Также $\angle{XEY}=2\angle{XAY}=2\alpha$, откуда $\angle{EXY}=90-\alpha$, тогда $\angle{CXF}=90-\beta$ и так как $\angle{TCZ}=2\angle{TBZ}=2\beta, \rightarrow \angle{CZF}=90-\beta$, тоесть $XZCF$ - вписанный, аналогично $XEZF$ - вписанный тоесть 5-угольник $XZCFE$ - вписан. Тогда $\angle{CXF}=90-\beta=\angle{CEF}$, и так как $\angle{CAD}=\angle{CED}=\alpha$, то $\angle{DEF}=\angle{DYF}=90-\alpha-\beta$ тоесть $EYDF$ - вписанный и $\angle{EFD}=\beta$, откуда $DF \perp EC$

После $EZXCF$ вписанный и пусть $EF\cap DC$=$G$ $\angle FEC=\angle FXC$ = 90 - $\beta$

$\Rightarrow$ $\angle DEF=90-\beta-\alpha$ $\Rightarrow$

$\angle EGC=90$ и для других мы можем убедиться что $D$ ортоцентр треугольника

$\triangle EFC$