15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год

С многочленом третьей степени разрешается неограниченное число раз проделывать следующие две операции:
   (i) переставлять его коэффициенты, включая нулевые, в обратном порядке (так, из многочлена $x^3-2x^2-3$ можно получить многочлен $-3x^3-2x+1$);
   (ii) заменять многочлен $P(x)$ на многочлен $P(x+1)$. Можно ли получить из многочлена $x^3-2$ многочлен $x^3-3x^2+3x-3$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Операция $\mathrm{(i)}$ корень $x$ сменяет на $\dfrac 1 x$ (очевидно, что корень никогда не равен нулю, так как иначе старший коэффициент равен нулю)

Операция $\mathrm{(ii)}$ корень $x$ сменяет на $x-1$

Заметим, что у изначального уравнения $x^3-2$, два мнимых корня, действительные части которых меньше 0,

а у многочлена $(x-1)^3-2$, два мнимых корня, действительные части которых больше 0.

После каждой операции у мнимых корней, действительные части всегда будут меньше 0, так как вторая операция уменьшает действительную часть на единицу, а первая операция не меняет знак действительной части: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{\overline x }{x\cdot \overline x}=\dfrac{\overline x}{|x|^2}.$

Значит из многочлена $x^3-2$ нельзя получить $(x-1)^3-2,$ так как знак действительной части - инвариант.

Можно заметить, что если $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$ то $3ad-bc$ не увеличивается, однако оно $-6$ в начале и $0$ в конце, противоречие.