Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 9 сынып
Біз |a1−a2|, |a2−a3|, …, |a8−a9|, |a9−a1| сандары түгелдей әртүрлі болатындай етіп, {1,2,…,9,10} жиынынан әртүрлі a1,a2,…,a9 сандарын таңдай аламыз ба?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ясно, что любая разность принадлежит множеству {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Заметим, что
\sum_{i=1}^{9} |a_i-a_{i+1}|\equiv \sum_{i=1}^{9} a_i-a_{i+1}\equiv 0 \pmod 2,
но 1+2+\ldots+9=45\not\equiv 0 \pmod 2, откуда следует, что все разности не могут быть различными.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.