Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Докажите, что для всех положительных вещественных чисел $x$ выполнено неравенство $2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}} \ge 2 \cdot 2^{\sqrt[6]{x}}.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Пусть точка $O$ — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB,$ $BOC,$ $COA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В стране $N$ городов. Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (быть может, с пересадками).
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Натуральные числа $a,b,c$ и $d$ удовлетворяют равенству $ab = cd.$ Докажите, что число $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ составное.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Можно ли из множества $\{1,2, \ldots ,9,10\}$ выбрать девять различных чисел $a_1,a_2,\ldots ,a_9$ так, чтобы все девять чисел $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_8 - a_9|,$ $|a_9 - a_1|$ были различными?
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE.$ Докажите, что если $\angle BEA = 45^\circ,$ то и $\angle EHC = 45^\circ.$
комментарий/решение(3)

---