Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что для всех положительных вещественных чисел

$x$ выполнено неравенство

$2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}} \ge 2 \cdot 2^{\sqrt[6]{x}}.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть точка

$O$ — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник

$ABC$ . Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники

$AOB,$

$BOC,$

$COA,$ равны, то треугольник

$ABC$ — правильный.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В стране

$N$ городов. Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (быть может, с пересадками).
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральные числа

$a,b,c$ и

$d$ удовлетворяют равенству

$ab = cd.$ Докажите, что число

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ составное.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Можно ли из множества

$\{1,2, \ldots ,9,10\}$ выбрать девять различных чисел

$a_1,a_2,\ldots ,a_9$ так, чтобы все девять чисел

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_8 - a_9|,$

$|a_9 - a_1|$ были различными?
комментарий/решение(2)

Задача №6. В треугольнике

$ABC$ проведены высота

$AH$ и биссектриса

$BE.$ Докажите, что если

$\angle BEA = 45^\circ,$ то и

$\angle EHC = 45^\circ.$
комментарий/решение(3)