Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE.$ Докажите, что если $\angle BEA = 45^\circ,$ то и $\angle EHC = 45^\circ.$

Комментарий/решение

Опустим из вершины A перпендикуляр AM на BE. Треугольник AME равнобедренный прямоугольный. Точки M и H лежат на окружности с диаметром AB, значит, MH = MA = ME (на дуги AE и MH опираются равные углы). Следовательно, M – центр описанной окружности треугольника AHE, поэтому ∠AHE = ½ ∠AME = 45°, а ∠EHC = 90° – ∠AHE.

Пусть $ \angle ABC = 2x $ , тогда $ \angle ABE = \angle EBC =x , \angle BAH = 90 - 2x $ , так как $ \angle BEA = 45 $ то $\angle HAC = 45 + x $. Продолжим $ AB $ за точку $ A $ до точки $ K $ , тогда $ \angle HAK = 180 - \angle BAH = 90 + 2x $ , откуда следует что $ \angle CAK = 45 + x = \angle HAC $. Тогда $ E $ центр вневписанной окружности треугольника $ BAH $ которая касается сторон $ AH , AK , HC $ , отсюда $ HE $ биссектриса прямого угла $ \angle AHC $

Отметим угол $ABE$ как альфа, потом возьмём и вытянем линию $BA$ и отметём какую нибудь точку $Q$ на остальной линии, заметим что $AC$ является биссектрисой угла $QAH$, а ещё $ABC$ биссектриса, и получается от факта что две биссектрисы внешних углов и биссектриса внутреннего угла пересекаются в одной точке что $HE$ биссектриса $AHC$ ч.т.д.