Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген оң нақты

$x$ саны үшін

$2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}} \ge 2 \cdot 2^{\sqrt[6]{x}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$O$ болсын. Егер

$AOB,$

$BOC,$

$COA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса,

$ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бір елде

$N$ қала бар. Әрбір екі қала тіке қатынас жолмен — ұшақпен, немесе кемемен жалғасқан. Көліктің қандай да бір түрін ғана пайдаланып, осы елдің кез келген қаласынан кез келген қаласына (мүмкін, ауысып отыру арқылы) жетуге болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Натурал

$a,b,c$ және

$d$ сандарының

$ab = cd$ теңдігін қанағаттандыратыны белгілі болса,

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ санының құрама болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Біз

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_8 - a_9|,$

$|a_9 - a_1|$ сандары түгелдей әртүрлі болатындай етіп,

$\{1,2, \ldots ,9,10\}$ жиынынан әртүрлі

$a_1,a_2,\ldots ,a_9$ сандарын таңдай аламыз ба?
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$ABC$ үшбұрышының

$AH$ биіктігі мен

$BE$ биссектрисасы жүргізілген. Егер

$\angle BEA = 45^\circ$ болса, онда

$\angle EHC = 45^\circ$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)