Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Натуральные числа $a,b,c$ и $d$ удовлетворяют равенству $ab = cd.$ Докажите, что число $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ составное.

Комментарий/решение

$ab=cd$

$\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}$

Пусть $\dfrac{p}{q}$ - несократимая дробь, равная $\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}$

Тогда $a$, $c$, $d$, $b$ можно представить ввиде $pl$, $ql$, $pf$, $qf$ соответственно.

$a^2+b^2+c^2+d^2=(pl)^2+(ql)^2+(pf)^2+(qf)^2=(p^2+q^2)(l^2+f^2)$

Так как $(p^2+q^2)$ и $(l^2+f^2)\ge 2$, то $a^2+b^2+c^2+d^2$ - составное.