Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $BD$. Пусть $F$ симметрично $A$ относительно $BD$, а $N$ — точка пересечения $AF$ и $BD$. Прямая, проходящая через $N$ и параллельно $AC$, пересекается с прямыми $CD$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Докажите, что точки $P$, $C$, $Q$ и $F$ — вершины прямоугольника.

Комментарий/решение

Пусть $O$-точка пересечения диагоналей $CQFD$.Учитывая, что $ABCD$-вписаный, и то, что $\angle BAD$ и $\angle BCD$ опираются на диаметр, получаем, что $\angle BAD =\angle BCD =90^\circ$. $\triangle FND =\triangle AND$ по двум сторонам и 1 углу. Из этого следует , что дуги $FD,AD$ равны. $\angle FCD =\angle DCA$ так как опираются на равные дуги. Учитывая, что по условию $NQ||AC$, получим $\angle PCA =\angle CPQ =\angle FCD$ как внутренние накрест лежащие при параллельных. Из этого следует, что $\triangle COP$-равнобедренный. $CO=OP$. $\angle QCO =90-\angle FCD$; $\angle CQP =90-\angle QPC= 90^\circ-\angle FCD$ из этого $\triangle COQ$ равнобедренный. Следовательно $QO=OP =CO$.Вспомним, что $NQ ||AC$. По теореме Фалеса получим $CO=OF$. Таким образом $CQFD$-4х угольник в котором диагонали равны и делят друг друга пополам, то есть прямоугольник

что такое H?

Это опечатка. Вместо $H$ следует понимать $N$

Очень благодарен за ревью моего решения, Куаныш!