Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур дистанционного этапа

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD.$ Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E.$ Докажите, что $BE = CE.$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCF.$ Его диагональ $BF$ проходит через точку $M$, а, значит, и через точку $E.$ Так как $CF = AB = BD$, и прямая $CD$, будучи параллельной прямой $AB$, не параллельна прямой $BD$, $BCFD$ — равнобедренная трапеция. Ее диагонали $BF$ и $CD$ образуют равные углы с основанием $BC.$ Следовательно, треугольник $BEC$ — равнобедренный с основанием $BC$, что и требовалось доказать.