Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

$ABCD$ трапециясының $AB$ бүйір қабырғасы $BD$ диагональіне тең. $M$ нүктесі $AC$ диагональінің ортасы. $BM$ түзуі $CD$ кесіндісін $E$ нүктесінде қияды. $BE = CE$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCF.$ Его диагональ $BF$ проходит через точку $M$, а, значит, и через точку $E.$ Так как $CF = AB = BD$, и прямая $CD$, будучи параллельной прямой $AB$, не параллельна прямой $BD$, $BCFD$ — равнобедренная трапеция. Ее диагонали $BF$ и $CD$ образуют равные углы с основанием $BC.$ Следовательно, треугольник $BEC$ — равнобедренный с основанием $BC$, что и требовалось доказать.