Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющие условию $f(x-f(y))=1-x-y,$ для любых вещественных $x$ и $y$.

Комментарий/решение

$$f(y)=x\Rightarrow f(0)=1-f(y)-y\Rightarrow f(y)=1-f(0)-y$$

$$1-f(0)=a\in\mathbb{R}\Rightarrow f(y)=a-y\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(x+y-a)=2a-x-y=1-x-y\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}-x, \forall x\in \mathbb{R}$$