Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген нақты $x,y$ сандары үшін $f\left( x-f(y) \right)=1-x-y$ шартын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.

Комментарий/решение

$$f(y)=x\Rightarrow f(0)=1-f(y)-y\Rightarrow f(y)=1-f(0)-y$$

$$1-f(0)=a\in\mathbb{R}\Rightarrow f(y)=a-y\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(x+y-a)=2a-x-y=1-x-y\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}-x, \forall x\in \mathbb{R}$$