Республиканская олимпиада по физике 2016, 9 класс, теоретический тур

Что не договорил Архимед? (10,0 балла)
Из водонепроницаемого твердого материала изготовлен тонкостенный сосуд в форме параллелипипеда размерами $a\times a\times L$, где $a=10$ см, а $L=50$ см, и массой $m_0=1$ кг. В сосуд долили ртуть некоторой массой $m$, плотность которой равна $\rho=13,6\times 10^3$ кг/м$^3$, и герметично закрыли. Затем сосуд с ртутью опустили в глубокий водоем очень большого размера, так что он плавает, а изменением уровня воды в нем можно пренебречь. В дальнейших расчетах примите, что плотность воды равна $\rho_0=1\times 10^3$ кг/м$^3$, а ускорение свободного падения составляет $g=9,8$ м/с$^2$. Закон Архимеда утверждает, что масса вытесненной сосудом воды равна массе сосуда с ртутью. Однако он ничего не говорит о том, в каком положении будет плавать сосуд в водоеме. Вполне логично предположить, что возможны два таких положения, показанные на рисунке ниже. Назовем их положение $№1$ и положение $№2$ соответственно.

1. Найдите и рассчитайте максимальную массу ртути $m_\text{cr}$, при которой сосуд вообще сможет плавать?
2. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
3. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
4. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_1$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг;
5. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_2$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг. В физике известен следующий принцип: любая система стремится занять положение с наименьшей возможной потенциальной энергией. В нашем случае возможны два положения, но лишь одно из них имеет наименьшую потенциальную энергию, оно и соответствует устойчивому положению равновесия, в котором будет плавать сосуд в водоеме.
6. В каком из положений, $№1$ или $№2$, будет плавать сосуд при $m=2$ кг;
7. При каком значении $m=m'$ возможны оба положения равновесия?
8. Пусть в сосуд постепенно добавляют ртуть, так что масса $m$ меняется от нуля до $m_\text{cr}$, найденного в пункте $1$. Постройте графическую зависимость глубины $H$ погружения нижней грани сосуда относительно поверхности воды от массы налитой ртути $m$.