Республиканская олимпиада по физике 2016, 9 класс, теоретический тур
Задача №1. «Солянка» (10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла) Цепочка массы m, длиной l висит неподвижно, касаясь нижним концом поверхности стола. Цепочку отпускают. Найдите зависимость силы давления цепочки на стол от времени. Ускорение свободного падения g.
Часть 1B (3,5 баллов) Кубик льда, имеющий температуру 0∘ С бросили в калориметр с горячим чаем. К моменту установления теплового равновесия температура чая понизилась на 12∘ С. Когда в калориметр бросили другой такой же кубик льда, температура чая понизилась еще на 10∘ С. Найдите массу кубика льда. Первоначальная масса чая 100 г. Теплоемкостью калориметра, теплообменом с окружающей средой и примесями заварки в чае пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов) Собирающая линза дает изображение точечного источника S, расположенного на главной оптической оси на расстоянии l от нее, в точке S′ на расстоянии f от линзы. Линза треснула по диаметру, после чего ее разлом отшлифовали и склеили так, что она стала давать два симметричных относительно оси изображения S″ и S‴, расстояние между которыми равно a. Найдите толщину слоя, который был снят при шлифовке.
комментарий/решение
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла) Цепочка массы m, длиной l висит неподвижно, касаясь нижним концом поверхности стола. Цепочку отпускают. Найдите зависимость силы давления цепочки на стол от времени. Ускорение свободного падения g.
Часть 1B (3,5 баллов) Кубик льда, имеющий температуру 0∘ С бросили в калориметр с горячим чаем. К моменту установления теплового равновесия температура чая понизилась на 12∘ С. Когда в калориметр бросили другой такой же кубик льда, температура чая понизилась еще на 10∘ С. Найдите массу кубика льда. Первоначальная масса чая 100 г. Теплоемкостью калориметра, теплообменом с окружающей средой и примесями заварки в чае пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов) Собирающая линза дает изображение точечного источника S, расположенного на главной оптической оси на расстоянии l от нее, в точке S′ на расстоянии f от линзы. Линза треснула по диаметру, после чего ее разлом отшлифовали и склеили так, что она стала давать два симметричных относительно оси изображения S″ и S‴, расстояние между которыми равно a. Найдите толщину слоя, который был снят при шлифовке.
комментарий/решение
Задача №2. Что не договорил Архимед? (10,0 балла)
Из водонепроницаемого твердого материала изготовлен тонкостенный сосуд в форме параллелипипеда размерами a×a×L, где a=10 см, а L=50 см, и массой m0=1 кг. В сосуд долили ртуть некоторой массой m, плотность которой равна ρ=13,6×103 кг/м3, и герметично закрыли. Затем сосуд с ртутью опустили в глубокий водоем очень большого размера, так что он плавает, а изменением уровня воды в нем можно пренебречь. В дальнейших расчетах примите, что плотность воды равна ρ0=1×103 кг/м3, а ускорение свободного падения составляет g=9,8 м/с2. Закон Архимеда утверждает, что масса вытесненной сосудом воды равна массе сосуда с ртутью. Однако он ничего не говорит о том, в каком положении будет плавать сосуд в водоеме. Вполне логично предположить, что возможны два таких положения, показанные на рисунке ниже. Назовем их положение №1 и положение №2 соответственно.
1. Найдите и рассчитайте максимальную массу ртути m_\text{cr}, при которой сосуд вообще сможет плавать?
2. Пусть сосуд плавает в положении №1. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при m=2 кг;
3. Пусть сосуд плавает в положении №2. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при m=2 кг;
4. Пусть сосуд плавает в положении №1. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии U_1 системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при m=2 кг;
5. Пусть сосуд плавает в положении №2. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии U_2 системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при m=2 кг. В физике известен следующий принцип: любая система стремится занять положение с наименьшей возможной потенциальной энергией. В нашем случае возможны два положения, но лишь одно из них имеет наименьшую потенциальную энергию, оно и соответствует устойчивому положению равновесия, в котором будет плавать сосуд в водоеме.
6. В каком из положений, №1 или №2, будет плавать сосуд при m=2 кг;
7. При каком значении m=m' возможны оба положения равновесия?
8. Пусть в сосуд постепенно добавляют ртуть, так что масса m меняется от нуля до m_\text{cr}, найденного в пункте 1. Постройте графическую зависимость глубины H погружения нижней грани сосуда относительно поверхности воды от массы налитой ртути m.
комментарий/решение
Из водонепроницаемого твердого материала изготовлен тонкостенный сосуд в форме параллелипипеда размерами a×a×L, где a=10 см, а L=50 см, и массой m0=1 кг. В сосуд долили ртуть некоторой массой m, плотность которой равна ρ=13,6×103 кг/м3, и герметично закрыли. Затем сосуд с ртутью опустили в глубокий водоем очень большого размера, так что он плавает, а изменением уровня воды в нем можно пренебречь. В дальнейших расчетах примите, что плотность воды равна ρ0=1×103 кг/м3, а ускорение свободного падения составляет g=9,8 м/с2. Закон Архимеда утверждает, что масса вытесненной сосудом воды равна массе сосуда с ртутью. Однако он ничего не говорит о том, в каком положении будет плавать сосуд в водоеме. Вполне логично предположить, что возможны два таких положения, показанные на рисунке ниже. Назовем их положение №1 и положение №2 соответственно.
1. Найдите и рассчитайте максимальную массу ртути m_\text{cr}, при которой сосуд вообще сможет плавать?
2. Пусть сосуд плавает в положении №1. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при m=2 кг;
3. Пусть сосуд плавает в положении №2. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при m=2 кг;
4. Пусть сосуд плавает в положении №1. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии U_1 системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при m=2 кг;
5. Пусть сосуд плавает в положении №2. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии U_2 системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при m=2 кг. В физике известен следующий принцип: любая система стремится занять положение с наименьшей возможной потенциальной энергией. В нашем случае возможны два положения, но лишь одно из них имеет наименьшую потенциальную энергию, оно и соответствует устойчивому положению равновесия, в котором будет плавать сосуд в водоеме.
6. В каком из положений, №1 или №2, будет плавать сосуд при m=2 кг;
7. При каком значении m=m' возможны оба положения равновесия?
8. Пусть в сосуд постепенно добавляют ртуть, так что масса m меняется от нуля до m_\text{cr}, найденного в пункте 1. Постройте графическую зависимость глубины H погружения нижней грани сосуда относительно поверхности воды от массы налитой ртути m.
комментарий/решение
Задача №3. Что такое стабилизатор? (10,0 балла)
Стабилизатором напряжения называется электронное устройство, напряжение на котором практически не изменяется при варьировании электрического тока в некотором достаточно широком интервале. Для простоты рассмотрим полупроводниковый стабилизатор напряжения, представляющий собой цилиндрический стержень из кремния радиуса r=1\times 10^{-3} м и длины l=2\cdot 10^{-1} м. Стержень находится в воздухе, температура которого постоянна и равна t_0=0^{\circ} С. Количество теплоты, которое отводится воздухом с единицы площади поверхности стержня в единицу времени, определяется законом Ньютона-Рихмана q=\alpha(t-t_0 ), где \alpha — коэффициент теплоотдачи, t — температура поверхности стержня. Таблица физических характеристик кремния, необходимых для решения задачи. Удельное сопротивление при 0^{\circ} С — \rho_0=1,57\cdot 10^{-5} Ом\cdotм;
Температурный коэффициент сопротивления — \gamma=-1,70\cdot 10^{-3} ^{\circ} С^{-1};
Коэффициент теплоотдачи — \alpha=50 Вт/(м^2 \cdot С). Внимание! В задаче рассматривается стационарный режим работы стабилизатора напряжения после установления теплового равновесия, поэтому рассчитывать временные характеристики процессов не требуется!
комментарий/решение
Стабилизатором напряжения называется электронное устройство, напряжение на котором практически не изменяется при варьировании электрического тока в некотором достаточно широком интервале. Для простоты рассмотрим полупроводниковый стабилизатор напряжения, представляющий собой цилиндрический стержень из кремния радиуса r=1\times 10^{-3} м и длины l=2\cdot 10^{-1} м. Стержень находится в воздухе, температура которого постоянна и равна t_0=0^{\circ} С. Количество теплоты, которое отводится воздухом с единицы площади поверхности стержня в единицу времени, определяется законом Ньютона-Рихмана q=\alpha(t-t_0 ), где \alpha — коэффициент теплоотдачи, t — температура поверхности стержня. Таблица физических характеристик кремния, необходимых для решения задачи. Удельное сопротивление при 0^{\circ} С — \rho_0=1,57\cdot 10^{-5} Ом\cdotм;
Температурный коэффициент сопротивления — \gamma=-1,70\cdot 10^{-3} ^{\circ} С^{-1};
Коэффициент теплоотдачи — \alpha=50 Вт/(м^2 \cdot С). Внимание! В задаче рассматривается стационарный режим работы стабилизатора напряжения после установления теплового равновесия, поэтому рассчитывать временные характеристики процессов не требуется!
- Рассчитайте значение сопротивления стержня R_0 при температуре 0^{\circ} С;
- Запишите формулу зависимости сопротивления стержня R от его температуры t. Рассчитайте значение сопротивления стержня при t=100^{\circ} С;
- Мощность теплоотдачи P_0 стабилизатора определяется формулой P_0=At. Рассчитайте значение коэффициента.
- Получите зависимость температуры стержня t от напряжения U на нем. Постройте график этой зависимости так, чтобы напряжение менялось в интервале от 0 до 3 В;
- Из полученного выше выражения следует, что существует максимальное напряжение U_{\max}, при котором может работать данный стабилизатор. Найдите U_{\max} и рассчитайте его;
- Постройте вольтамперную характеристику стабилизатора, то есть график зависимости приложенного к нему напряжения U от протекающей силы тока I так, чтобы сила тока изменялась в интервале от 0 до 10 А;
- При малых напряжениях на стабилизаторе оно оказывается пропорциональным силе тока I, то есть U=R_{\text{eff}} I. Определите коэффициент пропорциональности R_{\text{eff}} этой зависимости;
- Найдите напряжение на стабилизаторе при силе тока, стремящейся в бесконечность, то есть I\to \infty;
- Постройте вольтамперную характеристику цепи, состоящей из стабилизатора и подключенного к нему параллельно резистора сопротивлением R_1=10 Ом. График постройте на том же рисунке, что и в пункте 6. Построения обоснуйте; Стабилизатор в рассмотренной выше модели не может стабилизировать напряжение. У реального стабилизатора при достаточно больших температурах зависимость удельного сопротивления от температуры перестает быть линейной. Реальная зависимость \rho(t) приведена на графике ниже. Зависимость удельного сопротивления кремния от температуры.
- Используя приведенную реальную зависимость \rho(t), постройте вольтамперную характеристику реального стабилизатора.
- Найдите из графика и запишите численное значение напряжения стабилизации U_{\text{st}} стабилитрона, которое не зависит от силы протекающего через него тока.
- Укажите диапазон изменения силы тока I_{\min},I_{\max}, в котором стабилизатор стабилизирует напряжение в цепи. Необходимо, чтобы в этом диапазоне напряжение изменялось не более чем на 3,3\%.
комментарий/решение