Республиканская олимпиада по физике 2016, 9 класс, теоретический тур

Архимед нені айтпаған? (10,0 ұпай)
Су өткізбейтін қатты материалдан, өлшемдері $a\times a\times L$, мұндағы $a=10$ см, ал $L=50$ см, және массасы $m_0=1$ кг болатын жұқа қабырғалы параллелипипед пішініндегі ыдыс жасалған. Ыдысқа, массасы қандай-да бір $m$, ал тығыздығы $\rho=13,6\times 10^3$ кг/м$^3$ болатын сынап құйып, герметикалық түрде жабады. Содан кейін, сынабы бар ыдысты жүзетіндей етіп, өлшемі өте үлкен, терең су қоймасына жібереді, ал ондағы су деңгейінің өзгерісін ескермеуге болады. Кейінгі есептеулерде су тығыздығын $\rho_0=1\times 10^3$ кг/м$^3$, ал еркін түсу үдеуінің мәнін $g=9,8$ м/с$^2$ деп есептеңіз. Архимед заңы бойынша, ыдыспен ығыстырылып шығарылған су массасы, сынабы бар ыдыстың массасына тең болады деп тұжырымдалады. Бірақ ол су қоймасындағы ыдыстың қандай күйде жүзіп жүретіндігі жөнінде ештеңе айтпайды. Мұндай күйдің, төмендегі суретте келтірілген екі түрі бар екендігі туралы ұйғару әбден қисынды болып табылады. Оларды сәйкесінше $№1$ күй және $№2$ күй деп атайық.

1. Сынаптың қандай $m_\text{cr}$ максимальды массасының мәнінде ыдыс жүзе алатындығын табыңыз және есептеңіз?
2. Ыдыс $№1$ күйде жүзіп жүрсін делік. Массаның $m=2$ кг мәнінде оның төменгі қырының су бетіне қатысты бату тереңдігін табыңыз және есептеңіз;
3. Ыдыс $№2$ күйде жүзіп жүрсін делік. Массаның $m=2$ кг мәнінде оның төменгі қырының су бетіне қатысты бату тереңдігін табыңыз және есептеңіз;
4. Ыдыс $№1$ күйде жүзіп жүрсін делік. Массаның $m=2$ кг мәнінде су қоймасындағы су деңгейіне қатысты жүйенің (сынабы бар ыдыс және ығыстырылып шығарылған су) $U_1$ потенциалдық энергиясының өзгерісін табыңыз және есептеңіз;
5. Ыдыс $№2$ күйде жүзіп жүрсін делік. Массаның $m=2$ кг мәнінде су қоймасындағы су деңгейіне қатысты жүйенің (сынабы бар ыдыс және ығыстырылып шығарылған су) $U_2$ потенциалдық энергиясының өзгерісін табыңыз және есептеңіз. Физикада келесі қағида белгілі: кез-келген жүйе потенциалдық энергиясы ең аз болатын күйде болуға ұмтылады. Біздің жағдайымызда мүмкін болатын екі күй бар, бірақ олардың біреуі ғана потенциалдық энергияның ең аз мәніне ие, осы күй су қоймасындағы ыдыстың жүзуі кезінде тепе-теңдіктің орнықты күйіне сәйкес келеді.
6. Массаның $m=2$ кг мәнінде, ыдыс $№1$ немесе $№2$ күйдің қайсысында жүзіп жүреді?
7. Массаның қандай $m=m'$ мәнінде екі тепе-теңдік күйдің болуы мүмкін?
8. Масса $m$ нольден 1-пунктте табылған $m_\text{cr}$ мәніне дейін өзгеретіндей етіп, ыдысқа біртіндеп сынап құя түседі. Ыдыстың төменгі қырының су бетіне қатысты $H$ бату тереңдігінің құйылған сынаптың $m$ массасынан тәуелділік графигін тұрғызыңыз.