Республиканская олимпиада по физике 2015, 10 класс, теоретический тур

Газовый цилиндр (10,0 балла)
Газ неон с молярной массой $\mu=20$ г/моль и температурой $T_0=293$ К находится в сосуде под поршнем, который прикреплен к крышке сосуда пружиной жесткости $k=1$ кН/м. Длина пружины в недеформированном состоянии совпадает с высотой сосуда, площадь поперечного сечения которого равна $S=10$ см$^2$. Начальное расстояние от поршня до дна сосуда составляет $x_0=5$ мм, его масса — $m=1$ кг, масса сосуда $M=3$ кг, универсальная газовая постоянная равна $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К). Сосуд теплоизолирован от окружающей среды, а действием силы тяжести можно пренебречь.

1. Найдите давление газа в сосуде;
2. Найдите массу газа, находящегося в сосуде;
3. До какой температуры $T$ надо нагреть газ, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
4. Какое количество теплоты $Q$ надо сообщить газу, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
5. Рассчитайте теплоемкость газа под поршнем и выразите ее в единицах универсальной газовой постоянной $R$;
6. Вычислите частоту $\omega$ малых колебаний поршня возле положения равновесия $x_0$;
7. Сосуд повернули набок и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Найдите частоту $\omega_0$ малых колебаний поршня в этом случае.

Комментарий/решение

Пункт 1

Давление можно посчитать по формуле

$$p=\dfrac{F}{S}$$

Здесь $F-$ сумма сил, воздействующих на газ

$S-$ поперечная площадь сечения сосуда

$$F=k\cdot \Delta x+m\cdot g=1000\cdot 5 \cdot 10^{-3}+1\cdot 9.81=14.81 [H]$$

$S=10[cm^2]=10^{-3}[m^2]-$ по условию

Окончательно расчётное ИЗБЫТОЧНОЕ давление в сосуде равно

$$p=\dfrac{14.81 [H]}{10^{-3}[m^2]}=14810[Pa]$$

Пункт 2

Массу неона $m(Ne)$ можно рассчитать по уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_{abs}V=\dfrac{m(Ne)}{M}\cdot R\cdot T$$

Объём газа равен $V=S\cdot x_0=10^{-3}[m^2]\cdot 5\cdot 10^{-3}[m]=5\cdot 10^{-6}[m^3]$

Абсолютное давление равно сумме атмосферного и избыточного.

$$p_{abs}=10^5+p=10^5+14810=1.148\cdot 10^5[Pa]$$

Оттуда масса равна

$$m(Ne)=\dfrac{M\cdot p_{abs}\cdot V}{R\cdot T_0}=\dfrac{20\cdot 10^{-3}[kg/mol]\cdot 1.148\cdot 10^5[Pa]\cdot 5\cdot 10^{-6}[m^3]}{8.31[J/(mol\cdot K)]\cdot 293[K]}$$

$$m(Ne)=4.715\cdot 10^{-6}[kg]$$

Пункт 3

Поставим задачу немного по другому. Пусть $\Delta x_2=2\cdot \Delta x=10\cdot 10^{-3}[m]$

Пересчитаем давление , по уравнению состояния пересчитаем температуру

$$F_2=k\cdot \Delta x_2+m\cdot g=1000\cdot 10 \cdot 10^{-3}+1\cdot 9.81=19.81 [H]$$

$$p_2=\dfrac{19.81 [H]}{10^{-3}[m^2]}=19810[Pa]$$

$$p_{abs2}=10^5+p=10^5+19810=1.198\cdot 10^5[Pa]$$

$$V_2=S\cdot \Delta x_2=2\cdot V=1\cdot 10^{-5}[m^3]$$

$$T_2=\dfrac{p_{abs2}\cdot V_2 \cdot M}{m(Ne)\cdot R}$$

$$T_2=\dfrac{1.198\cdot 10^5[Pa]\cdot 1\cdot 10^{-5}[m^3] \cdot 20\cdot 10^{-3}[kg/mol]}{4.715\cdot 10^{-6}[kg]\cdot 8.31[J/(mol\cdot K)]}=611.52[K]$$