Республиканская олимпиада по физике 2013, 10 класс, теоретический тур

(8.0 балла)
Тонкая доска массы $М$ и длины $L$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Тело массой $m\ll M$ скользит по верхней части доски. Трение отсутствует. В начальном положении доска составляет угол $\theta_0$ с горизонтом, тело находится у верхнего края доски, а система в целом покоится. На протяжении всей задачи считайте, что $\theta\ll 1$, размерами тела можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g$.

Пусть $x$ — смещения тела вдоль доски, измеряемое от ее центра, $\theta$ — угол между доской и горизонталью. Считайте, что центростремительное ускорение тела пренебрежимо мало по сравнению с линейным ускорением тела при его движении вверх и вниз по доске.
а) Для некоторого значения $\theta_0$ во все время движения оказывается, что $x=k\theta$, где $k$ — некоторая постоянная. Найдите $\theta_0$;
б) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), определите период колебаний системы;
г) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), найдите $k$;
в) Определите максимальное значение отношения центростремительного и линейного ускорений тела и покажите корректность использованного приближения.