қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2013, 10 класс, теоретический тур
Задача №1. (8.0 балла)
Тонкая доска массы $М$ и длины $L$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Тело массой $m\ll M$ скользит по верхней части доски. Трение отсутствует. В начальном положении доска составляет угол $\theta_0$ с горизонтом, тело находится у верхнего края доски, а система в целом покоится. На протяжении всей задачи считайте, что $\theta\ll 1$, размерами тела можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g$.
а) Для некоторого значения $\theta_0$ во все время движения оказывается, что $x=k\theta$, где $k$ — некоторая постоянная. Найдите $\theta_0$;
б) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), определите период колебаний системы;
г) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), найдите $k$;
в) Определите максимальное значение отношения центростремительного и линейного ускорений тела и покажите корректность использованного приближения.
комментарий/решение
Тонкая доска массы $М$ и длины $L$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Тело массой $m\ll M$ скользит по верхней части доски. Трение отсутствует. В начальном положении доска составляет угол $\theta_0$ с горизонтом, тело находится у верхнего края доски, а система в целом покоится. На протяжении всей задачи считайте, что $\theta\ll 1$, размерами тела можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g$.
а) Для некоторого значения $\theta_0$ во все время движения оказывается, что $x=k\theta$, где $k$ — некоторая постоянная. Найдите $\theta_0$;
б) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), определите период колебаний системы;
г) Считая, что $\theta_0$ принимает значение из пункта а), найдите $k$;
в) Определите максимальное значение отношения центростремительного и линейного ускорений тела и покажите корректность использованного приближения.
комментарий/решение
Задача №2. (5.5 балла)
Закрытая с одного конца цилиндрическая труба содержит подвижный поршень, под которым находится $2$ моля воздуха. Первоначально, воздух в трубе имеет давление в одну атмосферу, объем $V_0$, и температуру $T_0= 298$ К. С воздухом производят следующие процессы. Процесс A: воздух в цилиндре сжимается при постоянной температуре до объема $V_0/4$. Процесс Б: воздуху позволяют расшириться адиабатически до объема $V=15$ л. Процесс В: поршень выдвигают, позволяя воздуху расшириться до первоначального объема $V_0$ при постоянной температуре. Процесс Г: при фиксированном объеме воздух доводят до исходной температуры $T_0$. Считайте воздух двухатомным идеальным газом, а $1$ атм = $1.01\times 10^5$ Па. Универсальная газовая постоянная равна $R= 8.31$ Дж / {моль$\cdot$К).
а) Нарисуйте $P-V$ диаграмму процесса в целом;
б) Какая работа совершается над газом во время процесса A?
в) Какова температура воздуха в конце процесса B?
г) Чему равно минимальное давление газа $p_{\min}$ за весь круговой процесс?
комментарий/решение
Закрытая с одного конца цилиндрическая труба содержит подвижный поршень, под которым находится $2$ моля воздуха. Первоначально, воздух в трубе имеет давление в одну атмосферу, объем $V_0$, и температуру $T_0= 298$ К. С воздухом производят следующие процессы. Процесс A: воздух в цилиндре сжимается при постоянной температуре до объема $V_0/4$. Процесс Б: воздуху позволяют расшириться адиабатически до объема $V=15$ л. Процесс В: поршень выдвигают, позволяя воздуху расшириться до первоначального объема $V_0$ при постоянной температуре. Процесс Г: при фиксированном объеме воздух доводят до исходной температуры $T_0$. Считайте воздух двухатомным идеальным газом, а $1$ атм = $1.01\times 10^5$ Па. Универсальная газовая постоянная равна $R= 8.31$ Дж / {моль$\cdot$К).
а) Нарисуйте $P-V$ диаграмму процесса в целом;
б) Какая работа совершается над газом во время процесса A?
в) Какова температура воздуха в конце процесса B?
г) Чему равно минимальное давление газа $p_{\min}$ за весь круговой процесс?
комментарий/решение
Задача №3. (9.5 балла)
Одна пара концов двух длинных, параллельных проводов соединена между собой резистором с сопротивлением $R=0,25$ Ом и предохранителем, который перегорает мгновенно, если сила текущего через него тока превосходит $I=5$ А. Другая пара концов остается не замкнутой. По проводам может скользить без трения проводящий стержень массы $m$. Провода находятся на расстоянии $l=30$ см друг от друга. Вся система помещается в однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B=1.2$ Тл, как показано на рисунке. Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g=9.8$ м/с$^2$. Стержень отпускают и он падает под действием силы тяжести, но никогда не теряет контакта с проводами.
комментарий/решение
Одна пара концов двух длинных, параллельных проводов соединена между собой резистором с сопротивлением $R=0,25$ Ом и предохранителем, который перегорает мгновенно, если сила текущего через него тока превосходит $I=5$ А. Другая пара концов остается не замкнутой. По проводам может скользить без трения проводящий стержень массы $m$. Провода находятся на расстоянии $l=30$ см друг от друга. Вся система помещается в однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B=1.2$ Тл, как показано на рисунке. Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g=9.8$ м/с$^2$. Стержень отпускают и он падает под действием силы тяжести, но никогда не теряет контакта с проводами.
- С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен двигаться стержень для того, чтобы предохранитель перегорел?
- При какой наименьшей массе стержня $m_{\min}$ предохранитель перегорает?
- Найдите аналитическую зависимость скорости стержня $v(t)$ от времени $t$;
- Предохранитель изготовлен из цилиндрического провода длиной $L$, радиусом $r\ll l$ и удельным сопротивлением $\rho_{f}$. Предположим, что через предохранитель протекает однородный по сечению электрический ток силой $I$;
- Какова величина и направление электрического поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?
- Какова величина и направление магнитного поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?
- Найдите величину и направление вектора Пойнтинга на поверхности провода предохранителя. Предохранитель перегорает, если он достигает точки плавления. Известно, что нагретый объект излучает энергию, мощность которой определяется законом $P=\sigma AT^4$, где $T$ — температура в градусах Кельвина, $A$ — площадь поверхности, а $\sigma=5.67\times 10^{-8}$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ К$^4$) — постоянная Стефана-Больцмана. Если $T=500$ К — температура плавления материала предохранителя, имеющего удельное сопротивление $\rho=120$ нОм$\cdot$ м, а сила тока, при которой предохранитель перегорает, равна $I=5$ А;
- Каким должен быть радиус провода, из которого изготовлен предохранитель?
Количество электромагнитной энергии, протекающей через единицу площади поверхности в единицу времени, определяется вектором Пойнтинга $S$, который перпендикулярен электрическому и магнитному полю и равен по модулю $S=EB\sin\alpha/\mu_{0}$, где $E$ — вектор напряженности электрического поля, $B$ — вектор магнитной индукции, а $\alpha$ — угол между ними (смотрите рисунок справа);
комментарий/решение
Задача №4. (7.0 балла)
Сферическая оболочка, имеющая внутренний радиус $a$ и внешний радиус $b$, изготовлена из материала с удельным сопротивлением $\rho$. Точечный заряд $q_0$ расположен в центре оболочки. В начальный момент времени $t=0$ весь материал оболочки является электрически нейтральным, включая внутреннюю и внешнюю поверхности. Магнитными эффектами и излучением можно пренебречь.
а) Найдите напряженность электрического поля $E_0$ внутри сферической оболочки спустя очень большое время;
б) Найдите напряженность электрического поля вне сферической оболочки вблизи ее внутренней $E_\text{in}$ и внешней поверхностей $E_\text{out}$ спустя очень большое время;
в) Найдите поверхностную плотность заряда $\sigma_\text{out}$ на внешней поверхности оболочки спустя очень большое время;
г) Найдите полный заряд на внешней поверхности оболочки $q(t)$ как функцию времени $t$?
комментарий/решение
Сферическая оболочка, имеющая внутренний радиус $a$ и внешний радиус $b$, изготовлена из материала с удельным сопротивлением $\rho$. Точечный заряд $q_0$ расположен в центре оболочки. В начальный момент времени $t=0$ весь материал оболочки является электрически нейтральным, включая внутреннюю и внешнюю поверхности. Магнитными эффектами и излучением можно пренебречь.
а) Найдите напряженность электрического поля $E_0$ внутри сферической оболочки спустя очень большое время;
б) Найдите напряженность электрического поля вне сферической оболочки вблизи ее внутренней $E_\text{in}$ и внешней поверхностей $E_\text{out}$ спустя очень большое время;
в) Найдите поверхностную плотность заряда $\sigma_\text{out}$ на внешней поверхности оболочки спустя очень большое время;
г) Найдите полный заряд на внешней поверхности оболочки $q(t)$ как функцию времени $t$?
комментарий/решение