Республиканская олимпиада по физике 2013, 10 класс, теоретический тур

Задача №1. (8.0 балла)
Тонкая доска массы

$М$ и длины

$L$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Тело массой

$m\ll M$ скользит по верхней части доски. Трение отсутствует. В начальном положении доска составляет угол

$\theta_0$ с горизонтом, тело находится у верхнего края доски, а система в целом покоится. На протяжении всей задачи считайте, что

$\theta\ll 1$ , размерами тела можно пренебречь, ускорение свободного падения равно

$g$ .

Пусть

$x$ — смещения тела вдоль доски, измеряемое от ее центра,

$\theta$ — угол между доской и горизонталью. Считайте, что центростремительное ускорение тела пренебрежимо мало по сравнению с линейным ускорением тела при его движении вверх и вниз по доске.
а) Для некоторого значения

$\theta_0$ во все время движения оказывается, что

$x=k\theta$ , где

$k$ — некоторая постоянная. Найдите

$\theta_0$ ;
б) Считая, что

$\theta_0$ принимает значение из пункта а), определите период колебаний системы;
г) Считая, что

$\theta_0$ принимает значение из пункта а), найдите

$k$ ;
в) Определите максимальное значение отношения центростремительного и линейного ускорений тела и покажите корректность использованного приближения.
комментарий/решение

Задача №2. (5.5 балла)
Закрытая с одного конца цилиндрическая труба содержит подвижный поршень, под которым находится

$2$ моля воздуха. Первоначально, воздух в трубе имеет давление в одну атмосферу, объем

$V_0$ , и температуру

$T_0= 298$ К. С воздухом производят следующие процессы. Процесс A: воздух в цилиндре сжимается при постоянной температуре до объема

$V_0/4$ . Процесс Б: воздуху позволяют расшириться адиабатически до объема

$V=15$ л. Процесс В: поршень выдвигают, позволяя воздуху расшириться до первоначального объема

$V_0$ при постоянной температуре. Процесс Г: при фиксированном объеме воздух доводят до исходной температуры

$T_0$ . Считайте воздух двухатомным идеальным газом, а

$1$ атм =

$1.01\times 10^5$ Па. Универсальная газовая постоянная равна

$R= 8.31$ Дж / {моль

$\cdot$ К).
а) Нарисуйте

$P-V$ диаграмму процесса в целом;
б) Какая работа совершается над газом во время процесса A?
в) Какова температура воздуха в конце процесса B?
г) Чему равно минимальное давление газа

$p_{\min}$ за весь круговой процесс?
комментарий/решение

Задача №3. (9.5 балла)
Одна пара концов двух длинных, параллельных проводов соединена между собой резистором с сопротивлением

$R=0,25$ Ом и предохранителем, который перегорает мгновенно, если сила текущего через него тока превосходит

$I=5$ А. Другая пара концов остается не замкнутой. По проводам может скользить без трения проводящий стержень массы

$m$ . Провода находятся на расстоянии

$l=30$ см друг от друга. Вся система помещается в однородное постоянное магнитное поле с индукцией

$B=1.2$ Тл, как показано на рисунке. Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь, ускорение свободного падения равно

$g=9.8$ м/с

$^2$ . Стержень отпускают и он падает под действием силы тяжести, но никогда не теряет контакта с проводами.

С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен двигаться стержень для того, чтобы предохранитель перегорел?
При какой наименьшей массе стержня $m_{\min}$ предохранитель перегорает?
Найдите аналитическую зависимость скорости стержня $v(t)$ от времени $t$ ;
Предохранитель изготовлен из цилиндрического провода длиной $L$ , радиусом $r\ll l$ и удельным сопротивлением $\rho_{f}$ . Предположим, что через предохранитель протекает однородный по сечению электрический ток силой $I$ ;
Какова величина и направление электрического поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?
Какова величина и направление магнитного поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?

$S$

$S=EB\sin\alpha/\mu_{0}$

$E$

$B$

$\alpha$

Найдите величину и направление вектора Пойнтинга на поверхности провода предохранителя. Предохранитель перегорает, если он достигает точки плавления. Известно, что нагретый объект излучает энергию, мощность которой определяется законом $P=\sigma AT^4$ , где $T$ — температура в градусах Кельвина, $A$ — площадь поверхности, а $\sigma=5.67\times 10^{-8}$ Вт/(м $^2$ $\cdot$ К $^4$ ) — постоянная Стефана-Больцмана. Если $T=500$ К — температура плавления материала предохранителя, имеющего удельное сопротивление $\rho=120$ нОм $\cdot$ м, а сила тока, при которой предохранитель перегорает, равна $I=5$ А;
Каким должен быть радиус провода, из которого изготовлен предохранитель?

комментарий/решение

Задача №4. (7.0 балла)
Сферическая оболочка, имеющая внутренний радиус

$a$ и внешний радиус

$b$ , изготовлена из материала с удельным сопротивлением

$\rho$ . Точечный заряд

$q_0$ расположен в центре оболочки. В начальный момент времени

$t=0$ весь материал оболочки является электрически нейтральным, включая внутреннюю и внешнюю поверхности. Магнитными эффектами и излучением можно пренебречь.
а) Найдите напряженность электрического поля

$E_0$ внутри сферической оболочки спустя очень большое время;
б) Найдите напряженность электрического поля вне сферической оболочки вблизи ее внутренней

$E_\text{in}$ и внешней поверхностей

$E_\text{out}$ спустя очень большое время;
в) Найдите поверхностную плотность заряда

$\sigma_\text{out}$ на внешней поверхности оболочки спустя очень большое время;
г) Найдите полный заряд на внешней поверхности оболочки

$q(t)$ как функцию времени

$t$ ?
комментарий/решение