Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс

Взаимно простые числа $a,~b$ ($a>b$) удовлетворяют соотношению $\dfrac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{\left( a-b \right)}^{3}}}=\dfrac{73}{3}$. Вычислите значение $a-b$.

Комментарий/решение

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}=\dfrac{73}{3}$

$(a-b)(7a-10b)(7b-10a)=0$ , $a>b$ то есть $a=\frac{10b}{7}$.

$a-b=\dfrac{3b}{7}$ , так как числа взаимно просты , то решение только одно , $a-b=3$ , при $a=10,b=7$

Ответ $a-b=3$