Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

$O$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесіне сәйкес келетін іштейсырт $\omega$ шеңберінің центрі ($AB\ne AC$). $\omega$ шеңбері $BC$ кесіндісін $K$ нүктеде, ал $AC$ және $AB$ түзулерінің созындыларын сәйкесінше $M$ және $P$ нүктелерінде жанайды. $AO$ және $PM$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады, ал $AK$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $H$ нүктесінде қияды. $K$, $T$, $O$ және $H$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $ \square AKTM$ вписанный (можно заметить через равенство углов). Тогда $$\angle AKT=180^\circ - \angle AMT$$$$ \Rightarrow \angle TKH = 180^\circ - \angle AKT = \angle AMT.$$

$$\angle MTK = 180^\circ - \angle MAK $$. Так как $ \square KTOH$ вписанный, $$\angle AKT = \angle TOH, \angle OHK =\angle ATK $$. Тогда нам достаточно доказать, что сумма четырёхугольника $\square KTOH$ равен $360^\circ$

$$\angle KTO +\angle TOH + \angle OHK +\angle TKH = (180^\circ - \angle ATK) + \angle AKT +\angle ATK + (180^\circ - \angle AKT) = 360^\circ $$