Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып
O нүктесі — ABC үшбұрышының A төбесіне сәйкес келетін іштейсырт ω шеңберінің центрі (AB≠AC). ω шеңбері BC кесіндісін K нүктеде, ал AC және AB түзулерінің созындыларын сәйкесінше M және P нүктелерінде жанайды. AO және PM түзулері T нүктесінде қиылысады, ал AK түзуі ω шеңберін екінші рет H нүктесінде қияды. K, T, O және H нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ◻AKTM вписанный (можно заметить через равенство углов). Тогда ∠AKT=180∘−∠AMT⇒∠TKH=180∘−∠AKT=∠AMT.
∠MTK=180∘−∠MAK. Так как ◻KTOH вписанный, ∠AKT=∠TOH,∠OHK=∠ATK. Тогда нам достаточно доказать, что сумма четырёхугольника ◻KTOH равен 360∘
∠KTO+∠TOH+∠OHK+∠TKH=(180∘−∠ATK)+∠AKT+∠ATK+(180∘−∠AKT)=360∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.