Районная олимпиада по физике 2015, 10 класс, теоретический тур

Воздушный шар радиуса $R$ покоится на высоте $2R$ над поверхностью Земли (рисунок 1). С какой минимальной начальной скоростью $\vartheta_0$, под каким углом $\alpha$ и с какого расстояния $S$ надо бросить с горизонтальной поверхности Земли камень, чтобы он перелетел через шар, коснувшись его в верхней точке? Ускорение свободного падения $g$. (5 баллов)

Комментарий/решение

Макисмальная высота, которая нам нужна, чтобы камень коснулся вершины шара, это: $h_{max}=2R + R + R = 4R$

Напишем уравнение сохранения энергии:

$\dfrac{mv_{0y}^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_{max}$, где $v_1 = 0м/с$

И получим: $\dfrac{mv_{0y}^2}{2} = mgh_{max} \Rightarrow \dfrac{mv_{0y}^2}{2} = mg4R \Rightarrow v_{0y}^2 = 8Rg$

$v_{0y} = v_0 \cdot sin{\alpha}$

Отсюдого: $v_{0min} = \dfrac{1}{sin{\alpha}} \sqrt{8Rg}$

2) $tg{\alpha} = \dfrac{4R}{S}$

Отсюдого: $S = \dfrac{4R}{tg{\alpha}}$

3) $\alpha = arctg \left( \dfrac{4R}{S} \right)$