Районная олимпиада по физике 2015, 10 класс, теоретический тур

Радиусы $R$ ауа шары Жер бетінен $2R$ биіктікте тыныштықта тұр (1-сурет). Жердің горизонталь бетінен лақтырылған тас шардың жоғарғы нүктесін жанап, шарды асып кетуі үшін, оны қандай $\vartheta_0$ минималды жылдамдықпен, қандай $\alpha$ бұрышпен және қандай $S$ қашықтықтан лақтыру қажет? Еркін түсу үдеуі $g$. (5 ұпай)

Комментарий/решение

Макисмальная высота, которая нам нужна, чтобы камень коснулся вершины шара, это: $h_{max}=2R + R + R = 4R$

Напишем уравнение сохранения энергии:

$\dfrac{mv_{0y}^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_{max}$, где $v_1 = 0м/с$

И получим: $\dfrac{mv_{0y}^2}{2} = mgh_{max} \Rightarrow \dfrac{mv_{0y}^2}{2} = mg4R \Rightarrow v_{0y}^2 = 8Rg$

$v_{0y} = v_0 \cdot sin{\alpha}$

Отсюдого: $v_{0min} = \dfrac{1}{sin{\alpha}} \sqrt{8Rg}$

2) $tg{\alpha} = \dfrac{4R}{S}$

Отсюдого: $S = \dfrac{4R}{tg{\alpha}}$

3) $\alpha = arctg \left( \dfrac{4R}{S} \right)$