Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год

Даны вещественные числа $a\ne 0$, $b$ и $c$. Докажите, что существует многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что многочлен $aP^2(x)+bP(x)+c$ делится на $x^2+1$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть $p+qi$ комплексный корень уравнения $az^2+bz+c.$ $(p,q\in\mathbb R.)$ Достаточно взять $P(x)=p+qx.$ Тогда все корни многочлена $x^2+1,$ (корни $: +i,-i)$ являются корнями $aP(x)^2+bP(x)+c,$ (просто подставим) что означает $aP(x)^2+bP(x)+c$ делится на $x^2+1.$