Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год
а стороне AB треугольника ABC выбрана точка P, а на сторонах AC
и BC точки S и T таким образом, что AP=AS и BP=BT. Описанная
окружность треугольника PST вторично пересекает стороны AB и BC в
точках Q и R соответственно. Прямые PS и QR пересекаются в точке
L. Докажите, что прямая CL делит отрезок PQ пополам.
(
А. Антропов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть M - вторая точка пересечения окружности с AC. V - точка пересечения PT и QM
∠BPT=∠BTP Так как BP = BT.
∠QPT=∠PTR
QPTR - вписанный. Значит QPTR равнобедренная трапеция. Аналогично QPSM равнобедренная трапеция. Значит VPLQ - параллелограмм. Так как QM∥PS и PT∥QR.
Теперь применим теорему Паскаля для шестиугольника QRTPSM. Получаем, что V,L,C лежат на одной прямой.Но VPLQ - параллелограмм значит CL делит PQ пополам.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.