Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год


а стороне AB треугольника ABC выбрана точка P, а на сторонах AC и BC точки S и T таким образом, что AP=AS и BP=BT. Описанная окружность треугольника PST вторично пересекает стороны AB и BC в точках Q и R соответственно. Прямые PS и QR пересекаются в точке L. Докажите, что прямая CL делит отрезок PQ пополам. ( А. Антропов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
5 года 11 месяца назад #

Пусть M - вторая точка пересечения окружности с AC. V - точка пересечения PT и QM

BPT=BTP Так как BP = BT.

QPT=PTR

QPTR - вписанный. Значит QPTR равнобедренная трапеция. Аналогично QPSM равнобедренная трапеция. Значит VPLQ - параллелограмм. Так как QMPS и PTQR.

Теперь применим теорему Паскаля для шестиугольника QRTPSM. Получаем, что V,L,C лежат на одной прямой.Но VPLQ - параллелограмм значит CL делит PQ пополам.