Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс


Дополненная десятичная запись натурального числа n — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа n=2018201820182018 (число 2018 выписано 100 раз, то есть n является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 2100.
Решение. Пусть в дополненной десятичной записи числа N=k=0mak10k слагаемое 10k встречается 10 раз (то есть ak=10. Тогда остаток от деления N на 10k+1 не может быть больше, чем i=0k11010i=i=1k10i=1111110 (в последнем случае имеется в виду обычная десятичная запись, и в ней k единиц).
  У числа N=201820182018=100j=1(2104j1+104j3+8104j4) остаток от деления на 104j при 1j100 равен 20182018>2104j1, на 104j2 равен 1820182018>1111110, на 104j3 равен 8201820188104j4. Поэтому ak может быть равно 10 только при k=4j2, 1j100.
  С другой стороны, ak может быть равно 10 для любого набора k такого вида (поскольку слагаемое 2104j1+104j3+8104j4 можно заменить на 1104j1+10104j2+104j3+8104j4).
  Выбрать такой набор можно 2100 способами.