Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 2100.
Решение. Пусть в дополненной десятичной записи числа
N=∑k=0mak⋅10k слагаемое 10k встречается 10 раз
(то есть ak=10. Тогда остаток от деления N на 10k+1 не может быть
больше, чем ∑i=0k−110⋅10i=∑i=1k10i=111…1110 (в последнем случае имеется в виду обычная десятичная запись,
и в ней k единиц).
У числа N=20182018…2018=100∑j=1(2⋅104j−1+104j−3+8⋅104j−4) остаток от деления на 104j при 1≤j≤100 равен 2018…2018>2⋅104j−1, на 104j−2 равен 182018…2018>111…1110, на 104j−3 равен 82018…2018≥8⋅104j−4.
Поэтому ak может быть равно 10 только при k=4j−2, 1≤j≤100.
С другой стороны, ak может быть равно 10 для любого набора k такого вида
(поскольку слагаемое 2⋅104j−1+104j−3+8⋅104j−4
можно заменить на 1⋅104j−1+10⋅104j−2+104j−3+8⋅104j−4).
Выбрать такой набор можно 2100 способами.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.