Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пусть вписанная окружность делит стороны a, b и c на отрезки x, y и z так, что a=x+y, b=y+z, и c=z+x. Заменив a,b,c в неравенстве, получим эквивалентное эму неравенство:
x(x+y+z)yz≥9(3x−y−z)4y+z⇔
⇔x(x+y+z)(4y+z)≥9yz(3x−y−z)⇔
⇔4x2y+x2z+4y2x+z2x+9y2z+9z2y+5xyz≥27xyz. Последнее неравенство можно получим сложив три неравенства Коши:
4x2y+9z2y≥12xyz, x2z+9y2z≥6xyz и 4y2x+z2x≥4xyz. Равенство достигается когда x:y:z=3:1:2 или a:b:c=4:3:5.
(a+b+c)(c+a−b)(a+b−c)(b+c−a)≥9(3a−5b+3c)3a+5b−3c⇔(a+c)2−b2b2−(a−c)2≥9(3(a+c)−5b)3(a−c)+5b
a+b>c⇒x=a+bc>1
c+b>a⇒b>a−c⇒y=a−cb<1
(a+c)2−b2b2−(a−c)2≥9(3(a+c)−5b)3(a−c)+5b⇔x2−11−y2≥9(3x−5)3y+5⇒
⇒∀x>1,y<1:3y+59(1−y2)≥3x−5x2−1
0≤(x−3)2(x−1)⇒0≤x2−6x+9=x2−1−2(3x−5)⇒12≥3x−5x2−1
0≤(3y+1)2=9y2+6y+1⇒9(1−y2)≤2(3y+5)⇒3y+59(1−y2)≥12
3y+59(1−y2)≥12≥3x−5x2−1
Равенство достигается когда x=−9y=3⇔{a+c=3bc−a=13⇒c2=a2+b2⇒{c2=(3b−c)2+b2c2=a2+b2⇒c:b:a=5:3:4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.