Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс


Известно, что a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что (a+b+c)(c+ab)(a+bc)(b+ca)9(3a5b+3c)3a+5b3c. ( М. Кабак )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть вписанная окружность делит стороны a, b и c на отрезки x, y и z так, что a=x+y, b=y+z, и c=z+x. Заменив a,b,c в неравенстве, получим эквивалентное эму неравенство: x(x+y+z)yz9(3xyz)4y+z x(x+y+z)(4y+z)9yz(3xyz) 4x2y+x2z+4y2x+z2x+9y2z+9z2y+5xyz27xyz. Последнее неравенство можно получим сложив три неравенства Коши: 4x2y+9z2y12xyz, x2z+9y2z6xyz и 4y2x+z2x4xyz. Равенство достигается когда x:y:z=3:1:2 или a:b:c=4:3:5.

пред. Правка 2   0
6 года 2 месяца назад #

(a+b+c)(c+ab)(a+bc)(b+ca)9(3a5b+3c)3a+5b3c(a+c)2b2b2(ac)29(3(a+c)5b)3(ac)+5b

a+b>cx=a+bc>1

c+b>ab>acy=acb<1

(a+c)2b2b2(ac)29(3(a+c)5b)3(ac)+5bx211y29(3x5)3y+5

x>1,y<1:3y+59(1y2)3x5x21

0(x3)2(x1)0x26x+9=x212(3x5)123x5x21

0(3y+1)2=9y2+6y+19(1y2)2(3y+5)3y+59(1y2)12

3y+59(1y2)123x5x21

Равенство достигается когда x=9y=3{a+c=3bca=13c2=a2+b2{c2=(3bc)2+b2c2=a2+b2c:b:a=5:3:4