Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Числа $1, 2, \ldots, 8$ расставлены в вершинах куба так, что сумма любых трех чисел на любой грани не меньше $10$. Найдите наименьшую возможную сумму всех четырех чисел, стоящих в вершинах одной из граней.

Комментарий/решение

$Оценка:$

Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ номера на грани (лицевой стороне).

Пусть $b_1=a_1+a_2+a_3$, $b_2=a_1+a_2+a_4$, $b_3=a_1+a_3+a_4$, $b_4=a_2+a_3+a_4$

Тогда имеем, что все $a_i$ различны, поэтому все $b_i$ различны и $C=b_1+b_2+b_3+b_4=3(a_1+a_2+a_3+a_4)$

Мы должны найти минимум $C$.

$БОО$ $b_4>b_3>b_2>b_1 \ge 10$ тогда $C\ge 46$

Но $C$ кратно $3$, тогда $C\ge 48$

$Пример:$

$C=48$

$(0;0;0)=1$; $(0;0;1)=7$; $(0;1;0)=6$; $(1;0;0)=4$; $(0;1;1)=3$; $(1;1;0)=5$; $(1;0;1)=8$; $(1;1;1)=2$

Минимально возможным является $16$