Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Числа $ 1, 2, \ldots, 8$ расставлены в вершинах куба так, что сумма любых трех чисел на любой грани не меньше $ 10$. Найдите наименьшую возможную сумму всех четырех чисел, стоящих в вершинах одной из граней.

Комментарий/решение

$Оценка:$

Пусть $ a_1$, $ a_2$, $ a_3$, $ a_4$ номера на грани (лицевой стороне).

Пусть $ b_1=a_1+a_2+a_3$, $ b_2=a_1+a_2+a_4$, $ b_3=a_1+a_3+a_4$, $ b_4=a_2+a_3+a_4$

Тогда имеем, что все $ a_i$ различны, поэтому все $ b_i$ различны и $ C=b_1+b_2+b_3+b_4=3(a_1+a_2+a_3+a_4)$

Мы должны найти минимум $ C$.

$БОО$ $ b_4>b_3>b_2>b_1 \ge 10$ тогда $ C\ge 46$

Но $ C$ кратно $ 3$, тогда $ C\ge 48$

$Пример:$

$ C=48$

$ (0;0;0)=1$; $ (0;0;1)=7$; $ (0;1;0)=6$; $ (1;0;0)=4$; $ (0;1;1)=3$; $ (1;1;0)=5$; $ (1;0;1)=8$; $ (1;1;1)=2$

Минимально возможным является $ 16$