Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Пусть $n$ — натуральное число, $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n + 1}$ — непустые подмножества $\{1,2,\ldots,n\}$. Докажите, что существуют два непересекающихся непустых подмножества $\{1,2,\ldots,n + 1\}$: $\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\}$ и $\{j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}\}$ таких, что $A_{i_{1}}\cup A_{i_{2}}\cup\ldots\cup A_{i_{k}} = A_{j_{1}}\cup A_{j_{2}}\cup\ldots\cup A_{j_{m}}$.