Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Пусть $ n$ — натуральное число, $ A_{1},A_{2},\ldots,A_{n + 1}$ — непустые подмножества $ \{1,2,\ldots,n\}$. Докажите, что существуют два непересекающихся непустых подмножества $ \{1,2,\ldots,n + 1\}$: $ \{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\}$ и $ \{j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}\}$ таких, что $ A_{i_{1}}\cup A_{i_{2}}\cup\ldots\cup A_{i_{k}} = A_{j_{1}}\cup A_{j_{2}}\cup\ldots\cup A_{j_{m}}$.