Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур дистанционного этапа

Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $AA_1$ — самая короткая из высот треугольника $ABC$. Если она равняется медиане $AA_2$ или биссектрисе $AA_3$, то треугольник, очевидно, равнобедренный. Если она равна медиане $BB_2$ или биссектрисе $BB_3$, то тогда $AA_1$ не короче высоты $BB_1$. Значит, она равна $BB_1$, так как по нашему предположению $AA_1$ — самая короткая из высот. Итак, всё свелось к случаю, когда $AA_1 = BB_1$. Но тогда прямоугольные треугольники $ABA_1$ и $BAB_1$ равны по катету и гипотенузе, откуда $\angle A = \angle B.$