2 тур

Боря тоғыз кесінді сызған: олардың үшеуі – $ABC$ үшбұрышының биіктіктеріне тең, тағы үшеуі биссектрисаларына, ал қалған үшеуі – медианаларына тең. Боря қандай болмасын тоғыз кесінді сызбаса да, сол сызған кесіндінің кез келгені үшін, қалған сегіз кесіндінің ішінде, оған тең кесінді бар екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $AA_1$ — самая короткая из высот треугольника $ABC$. Если она равняется медиане $AA_2$ или биссектрисе $AA_3$, то треугольник, очевидно, равнобедренный. Если она равна медиане $BB_2$ или биссектрисе $BB_3$, то тогда $AA_1$ не короче высоты $BB_1$. Значит, она равна $BB_1$, так как по нашему предположению $AA_1$ — самая короткая из высот. Итак, всё свелось к случаю, когда $AA_1 = BB_1$. Но тогда прямоугольные треугольники $ABA_1$ и $BAB_1$ равны по катету и гипотенузе, откуда $\angle A = \angle B.$