2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы

Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Через точку $H$ проведены две взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AB$ в точках $D$ и $Z$ соответственно. А прямая $l_2$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AC$ в точках $E$ и $X$ соответственно. Пусть $Y$ — точка плоскости такая, что $YD\parallel AC$ и $YE\parallel AB$. Докажите, что $X, Y, Z$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Обозначим пересечения прямых $l_1,l_2$ с прямыми $AC$ и $AB$ за $F$ и $G$.

Далее можно применить теорему Дроз-Фарни:

то есть середины $ZG,ED,XF$ лежат на одной прямой, а это равносильно тому, что $(ZHG),(EHD),(XHF)$ имеют вторую общую точку $M$.

Пусть $(EHD)$ будет $\delta$. Тогда $\delta\cap YE=L,\delta \cap YD=K$. По лемме Фусса, так как $LE||ZG$ получается, что $Z,L,M$ лежат на одной прямой. $X,K,M$ аналогично лежат на одной прямой. Теперь очевидно можно применить теорему Паскаля для $HDKMLE$, вписанного в окружность $\delta$. Из последнего следует утверждение задачи.